自発的対称性の破れ

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自発的対称性の破れ

式（23）でもう一つ注目すべきなのは、 ${\cal L}_G$ がゲージ粒子の質量項を含まない点である。実際、質量項

$\begin{displaymath} {\cal L}_M = M^2 W_\mu W^\mu \end{displaymath}$ (26)

は、ゲージ粒子に対するゲージ変換（16）に対し、明らかに不変でない。つまり、ゲージ対称性は、ゲージ粒子が質量を持つことを禁止しているのである。我々が知っている質量を持たないベクトル粒子は光子だけなので、このままでは、ゲージ理論は電気力学にしか適用できない。これは当初、理論の致命的な欠陥だと思われていた。

ラグランジアンのゲージ対称性を保ちつつ、ゲージ粒子に質量を与えることを可能としたのが「自発的対称性の破れ」の考え方である。基本的なアイデアは、「場の理論が無限自由度であるために、ラグランジアンの対称性が必ずしも現象の対称性を意味しない」ことに注目することである。まず、ゲージ粒子とゲージ相互作用するスカラー場（複素２次元のヒッグス場: $\Phi$ ）を導入する。ヒッグス場のポテンシャル $V(\Phi)$ が、図-2 のような形をしている場合、

$\begin{displaymath} \begin{array} {lll} V(\Phi) & = & \mu^2 \vert\Phi\vert^2 + \lambda \vert\Phi\vert^4\end{array}\end{displaymath}$ (27)

（ただし、 $\mu^2 < 0$ ）を考える。

**Figure 2:** ヒッグスポテンシャル
$\begin{figure} \centerline{ \epsfig {file=panf/potential.eps,width=6cm} }\end{figure}$

ラグランジアンの対称性は、このヒッグス場のポテンシャルが $V(\Phi)$ 軸の回りで対称であることを意味している。この場合はしかし、真空(エネルギー最低の状態）がリング状に縮退している。

実際に実現している真空はそれらの１つであるため、それを選んだ瞬間に対称性が破れる（この真空は、 $V(\Phi)$ 軸の回りの回転でリング上の別の点へ移り不変でない）。重要なのは、この場合の真空が有限のヒッグス場 ( $\left<\Phi\right\gt \equiv v/\sqrt{2} = \sqrt{-\mu^2/2\lambda}$ )で満たされていることである（スカラー場をとったのは、真空と同じ量子数を持っていないと、真空中に凝縮できないからである）。

一方、ヒッグス粒子とゲージ粒子の相互作用は、ゲージ原理で決定され、スカラー粒子のラグランジアンで、 $\partial_\mu$ を ${\cal D}_\mu$ で置き換えたもの

$\begin{displaymath} \begin{array} {lll} {\cal L}_S & = & ({\cal D}_\mu \Phi)^\dagger ({\cal D}^\mu \Phi) - V(\Phi)\end{array}\end{displaymath}$ (28)

から導かれる。重要なのは、図-3 に示した相互作用である。

**Figure 3:** ヒッグス場とゲージ場（W）の４点ゲージ相互作用
$\begin{figure} \centerline{ \epsfig {file=panf/wwhh.eps,width=3cm} }\end{figure}$

この図でヒッグス場の部分（ $\Phi$ ）をその真空期待値（ $v/\sqrt{2}$ ）で置き換えると、

$\begin{displaymath} \left( \frac{gv}{2} \right)^2 W_\mu W^\mu\end{displaymath}$

(29)

型の質量項が現れる。つまり、ゲージ粒子 $W_\mu$ が、

$\begin{displaymath} M = \left( \frac{1}{2} g v \right)\end{displaymath}$

(30)

なる質量を獲得したことになる。質量のないベクトル粒子には縦波成分が無く自由度は２であるが、質量を獲得すると縦波成分が生じ自由度が３になる。この余分の自由度は、ヒッグスポテンシャルの平らな方向の（従って質量を持たない）ヒッグス場の自由度（図-2）によって供給される。平らな方向の自由度は破れた対称性の数（その方向への変換の生成子の数）だけある。何故ならその方向への変換で真空は不変でないからである。この自由度を通常ゴールドストーンモードと呼ぶ。平らでない方向の自由度は質量を持った物理的ヒッグス粒子となる。このヒッグス粒子の質量は、ポテンシャルの曲率で決まり、

$\begin{displaymath} m_H = \sqrt{2\lambda} v\end{displaymath}$

(31)

で与えられる。

以上の質量生成機構は、直観的には次のように解釈できる。質量とは、加速されにくさを表す量である。真空に凝縮したヒッグス場の海の中で、ゲージ粒子を加速しようとするとヒッグス場にぶつかって抵抗を受ける。この抵抗はゲージ場が１個のヒッグスと衝突する頻度を表す結合定数(g)と、真空中のヒッグスの密度(v)に比例するはずである。従って、

$\begin{displaymath} M \sim g\mbox{（衝突頻度）} \times v \mbox{（ヒッグスの密度）}\end{displaymath}$ (32)

となる（図-4）。

**Figure 4:** ヒッグス機構による質量生成
$\begin{figure} \centerline{ \epsfig {file=panf/higgs.eps,width=6cm} }\end{figure}$

このような質量生成機構を「ヒッグス機構」と呼ぶ。

ゲージ粒子の質量だけでなく物質粒子の質量も、ヒッグス機構で生じるとするのが標準理論の考え方である。実は、標準理論の場合、物質粒子もラグランジアンの段階では質量を持てない。ラグランジアン（24）で、質量項

$\begin{displaymath} {\cal L}_m = - m \bar{\Psi} \Psi\end{displaymath}$ (33)

が許されたのは、左巻き粒子場（ $\Psi_L$ ）と右巻き粒子場（ $\Psi_R$ ）が、同じゲージ対称性を持つと暗に仮定してきたからである。ただし、 $\Psi$ は

$\begin{displaymath} \Psi = \Psi_L + \Psi_R\end{displaymath}$ (34)

で与えられ、 $\Psi_L$ と $\Psi_R$ は、

$\begin{displaymath} \gamma_5 \equiv \gamma^5 \equiv i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\end{displaymath}$ (35)

として、

$\begin{displaymath} \begin{array} {lll} \left\{ \begin{array} {lll} \Psi_L & =... ...rac{1+\gamma_5}{2} \right) \Psi \end{array} \right.\end{array}\end{displaymath}$ (36)

で定義される。 $\Psi_L$ と $\Psi_R$ を用いると、式（33）は、

$\begin{displaymath} {\cal L}_m = - m \left( \bar{\Psi}_R \Psi_L + \bar{\Psi}_L \Psi_R \right)\end{displaymath}$ (37)

となる。ここで、

$\begin{displaymath} \begin{array} {lll} \{ \gamma_5, \gamma_\mu \} = 0 \cr (\gamma_5)^2 = 1\end{array}\end{displaymath}$ (38)

を使った。式（37）は、質量項が左巻き粒子場を右巻き粒子場へ、右巻き粒子場を左巻き粒子場へと、転換することを意味している。

これは、直観的には次のように説明できる。質量を持たない粒子は常に光速で運動する。光速で運動する粒子を追い越すことは出来ない。一方、質量を持った粒子は追い越せる。追い越してからその粒子を見ると、運動方向が逆転するので（スピンの向きはそのまま）、右巻きと左巻きが入れ代わる。追い越せなければそのままである。

さて、質量項が右巻きと左巻きを転換するのに対し、ラグランジアン（24）の物質粒子場を含む他の部分

$\begin{displaymath} {\cal L}_p = \bar{\Psi}_L i \not{\! {\cal D}} \Psi_L + \bar{\Psi}_R i \not{\! {\cal D}} \Psi_R\end{displaymath}$ (39)

は右巻きと左巻きを混ぜ合わせることはない。そこで、質量項が無ければ、右巻きと左巻きに対して、別々の位相変換を施しても、ラグランジアンは不変となる（カイラル対称性）。つまり、右巻き粒子場と左巻き粒子場とは、別の粒子と見なせ、従って、別の対称性を持たせられる。

逆に、右巻きと左巻きが、別々の対称性を持つためには、ラグランジアン中の物質粒子の質量項は禁止される。標準理論は、まさにそのような理論であって、式（12）に示した２重項に属するのは、左巻き粒子（添字の L）のみで、対応する右巻き粒子は１重項に属している。現実の物質粒子は質量を持っているので、ラグランジアンのゲージ対称性を保ったまま物質粒子の質量を導入するには、ヒッグス機構が必要となるのである。

重要なのは、ゲージ粒子の質量生成はヒッグス粒子とゲージ粒子の間の普遍的なゲージ相互作用によるものであるのに対し、物質粒子の質量生成には、ヒッグス粒子との間に湯川相互作用と呼ばれる新たな相互作用を導入しなければならない点である。この湯川相互作用は、物質粒子の質量生成や混合を引き起こすが、ゲージ相互作用のような必然性を持たないので、測定された物質粒子の異なる質量や混合角に対応して粒子の数や、混合角の数だけ異なった結合定数を仮定しなくてはならない。

まとめると

$\begin{displaymath} \begin{array} {lll} \begin{array} {lll} \mbox{ゲージ対称性} ... ...押璽故鎧劼�茲喨�僧鎧劼亮僧明言�} ~~~~~~\end{array}\end{array}\end{displaymath}$ (40)

となる。

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Keisuke Fujii
5/2/2000